Chiziqli tenglamalar: yechish va javobni tekshirish

Tenglamani yechish — tenglikni to‘g‘ri qiladigan noma’lumning barcha qiymatlarini topish demakdir. Chiziqli tenglamada noma’lum birinchi darajada qatnashadi. Yechishda qavslarni ochish, noma’lum qatnashgan hadlarni bir tomonga yig‘ish va natijani tekshirish qulay.

Chiziqli tenglama nima?

Eng sodda ko‘rinish — $ax+b=0$. Bu yerda $a$ va $b$ sonlar, $x$ esa noma’lum. Agar $a\ne0$ bo‘lsa, tenglama yagona ildizga ega:

$$x=-\frac{b}{a}$$

Masalan, $5x-20=0$ tenglamadan $x=4$ kelib chiqadi. Lekin bitta formulani yodlash yetarli emas: boshlang‘ich tenglamada qavs yoki kasrlar bo‘lishi mumkin. Avval uni qulay ko‘rinishga keltirish kerak.

Asosiy qoida: ikki tomonga bir xil amal

Tenglikning ikkala tomoniga bir xil sonni qo‘shish yoki ulardan bir xil sonni ayirish mumkin. Ikkala tomonni bir xil noldan farqli songa ko‘paytirish yoki bo‘lish ham yechimlarni saqlaydi. Nolga bo‘lish mumkin emas.

«Hadni tenglikning boshqa tomoniga qarama-qarshi ishora bilan o‘tkazish» shu amalning qisqa ifodasidir. Chap tomondagi $+6$ ni yo‘qotish uchun ikkala tomondan 6 ni ayiramiz:

$$2x+6=18\quad\Rightarrow\quad2x=12\quad\Rightarrow\quad x=6$$

Javobni boshlang‘ich tenglamaga qo‘yib tekshiramiz: $2\cdot6+6=18$. Tenglik to‘g‘ri. Faqat oraliq qadamni tekshirish yetarli bo‘lmasligi mumkin: xato undan oldin paydo bo‘lgan bo‘lishi mumkin.

Qavsli va ikki tomonida noma’lum bo‘lgan misol

$3(x-2)=2x+5$ tenglamani yechamiz. Qavs ichidagi har bir hadni 3 ga ko‘paytiramiz, so‘ng ikkala tomondan $2x$ ni ayirib, 6 ni qo‘shamiz:

$$3x-6=2x+5\quad\Rightarrow\quad x-6=5\quad\Rightarrow\quad x=11$$

Chap tomon $3(11-2)=27$, o‘ng tomon esa $2\cdot11+5=27$ bo‘ladi. Minus ishorasidan keyingi qavsni ehtiyotkorlik bilan oching: $-(x-4)=-x+4$, $-x-4$ emas.

Sonli maxrajlardan qanday qutulish mumkin?

$\frac{x-1}{3}+\frac{x}{2}=4$ tenglamada umumiy maxraj 6 ga teng. Ikkala tomondagi har bir hadni, jumladan o‘ng tomonni ham 6 ga ko‘paytiramiz:

$$2(x-1)+3x=24\quad\Rightarrow\quad5x-2=24\quad\Rightarrow\quad x=\frac{26}{5}$$

Tekshirish: $\frac{26/5-1}{3}=\frac75$, $\frac{26/5}{2}=\frac{13}{5}$. Ularning yig‘indisi $\frac{20}{5}=4$. Agar noma’lum maxrajda bo‘lsa, avval maxrajni nolga aylantiradigan qiymatlarni chiqarib tashlash kerak. Bu sonli maxrajga ega oddiy chiziqli tenglama holatidan farq qiladi.

Qachon yechim yo‘q yoki yechimlar cheksiz ko‘p bo‘ladi?

Soddalashtirishdan so‘ng noma’lum yo‘qolishi mumkin. $2(x+1)=2x+5$ dan $2=5$ kelib chiqadi, demak yechim yo‘q. $2(x+1)=2x+2$ dan esa $2=2$ hosil bo‘ladi va istalgan haqiqiy $x$ mos keladi. $x$ oldidagi koeffitsiyent nol bo‘lsa, unga bo‘lish mumkin emas.

O‘zingizni sinab ko‘ring

Yeching: 1) $4x-7=9$; 2) $5-2(x+1)=9$; 3) $\frac{x}{4}+\frac12=3$; 4) $3x+1=3x-2$. Avval mustaqil yechib, keyin javoblarni oching.

Javoblar va qisqa tekshirish

1) $x=4$: $16-7=9$. 2) $x=-3$: $5-2(-2)=9$. 3) $x=10$: $10/4+1/2=3$. 4) Yechim yo‘q: $3x$ ni ayirgandan so‘ng noto‘g‘ri $1=-2$ tenglik qoladi.

Ildiz kasr son bo‘lishi mumkinmi?

Ha. Masalan, $2x=3$ tenglamaning ildizi $x=\frac32$. Kasr yoki manfiy javobning o‘zi xato belgisi emas. Muhimi — uni boshlang‘ich tenglamaga qo‘yib tekshirish.

Har bir qatorda bittadan o‘zgartirish yozish va ishoralarni tushirib qoldirmaslik foydali odatdir. Bu usulni tushungach, ikkinchi darajali tenglamalarga o‘tish mumkin.

Keyingi mavzu: kvadrat tenglamalar va diskriminant