Foizli masalalar: uchta formula va misollar

Foiz — butunning yuzdan bir qismi: $1\%=\frac{1}{100}=0{,}01$. Maktabdagi ko‘pchilik foizli masalalar uchta savolga borib taqaladi: sonning bir qismini topish, ma’lum qism orqali butunni aniqlash yoki ikki miqdorni taqqoslash. Eng muhimi — har safar qaysi son 100% deb olinayotganini belgilash.

Sonning foizini qanday topish mumkin?

$A$ sonining $p\%$ ini topish uchun sonni $p$ ga ko‘paytirib, 100 ga bo‘ling:

$$B=A\cdot\frac{p}{100}$$

Masalan, 240 ning $15\%$ i $240\cdot0{,}15=36$ ga teng. Og‘zaki tekshirish mumkin: 240 ning 10% i 24, 5% i esa uning yarmi — 12. Jami 36 hosil bo‘ladi.

Agar 60 ta masaladan 18 tasi yechilgan bo‘lsa, bajarilgan ish ulushini avval $\frac{18}{60}$ kasr bilan yozish qulay. Uni foizga aylantirishni quyida ko‘ramiz.

Ma’lum foiziga ko‘ra butun sonni topish

$B$ qism butunning $p\%$ ini tashkil etishi ma’lum bo‘lsin. Teskari amal bajariladi: qismni ulushga bo‘lamiz. $p$ noldan farqli bo‘lganda:

$$A=\frac{B}{p/100}=\frac{100B}{p}$$

36 bet kitobning 15% ini tashkil etsa, kitobda jami $36:0{,}15=240$ bet bor. Tekshirish: 240 ning 15% i haqiqatan 36. 36 ni 15 ga bo‘lish yetarli emas: 15 foiz — 15 emas, 0,15.

Bir son ikkinchi sonning necha foizini tashkil etadi?

Qismni butunga bo‘lib, 100 ga ko‘paytiring. Butun son nol bo‘lmasligi kerak:

$$p=\frac{B}{A}\cdot100\%$$

60 ta masaladan 18 tasi uchun $\frac{18}{60}\cdot100\%=30\%$ hosil bo‘ladi. Tartibga e’tibor bering: qism suratda, butun maxrajda turadi. Ularni almashtirsangiz, boshqa savolga javob olasiz.

Miqdorni bir necha foizga oshirish yoki kamaytirish

Miqdor $p\%$ ga oshirilsa, unga boshlang‘ich qiymatning $p\%$ i qo‘shiladi. Buni bitta ko‘paytirish bilan yozish mumkin:

$$A_{\text{yangi}}=A\left(1+\frac{p}{100}\right)$$

Kamaytirishda qo‘shish belgisi ayirishga almashadi. Masalan, 800 ni 15% ga kamaytirsak, $800\cdot0{,}85=680$ qoladi. Avval 120 ni topib, keyin uni 800 dan ayirish ham to‘g‘ri usul.

Nega 20% oshirib, 20% kamaytirish eski qiymatni bermaydi?

Boshlang‘ich miqdor 100 bo‘lsin. Uni 20% oshirsak, 120 bo‘ladi. Endi aynan 120 ni 20% kamaytiramiz: $120\cdot0{,}8=96$. Natija boshlang‘ich qiymatdan 4% kam. Foizlar turli asoslarga nisbatan hisoblandi: avval 100, keyin 120 ga.

$$100\cdot1{,}2\cdot0{,}8=96$$

Shuning uchun ketma-ket o‘zgarishlarni koeffitsiyentlar bilan hisoblash qulay. Foizlarni shunchaki qo‘shmang: har bir o‘zgarish qaysi qiymatga nisbatan olinayotganini aniqlang.

Foiz va foiz punktlari

To‘g‘ri javoblar ulushi 40% dan 50% ga oshsa, farq 10 foiz punktiga teng. Nisbiy o‘sish esa $\frac{50-40}{40}\cdot100\%=25\%$. Bular ikki xil taqqoslash usulidir. Qaysi biri kerakligini masala sharti belgilaydi.

O‘zingizni sinab ko‘ring

1) 350 ning 12% ini toping. 2) 54 soni noma’lum sonning 30% ini tashkil etadi. Shu sonni toping. 3) 45 soni 180 ning necha foizi? 4) 200 ni avval 10% oshirib, keyin 10% kamaytirishdi. Natija qancha?

Masalalarning javoblari qanday?

1) $350\cdot0{,}12=42$. 2) $54:0{,}3=180$. 3) $45:180\cdot100\%=25\%$. 4) $200\cdot1{,}1\cdot0{,}9=198$. Oxirgi masalada natija boshlang‘ich qiymatdan 1% kam.

Javob 100% dan katta bo‘lishi mumkinmi?

Ha. Masalan, 150 soni 100 ning 150% ini tashkil etadi. Bu taqqoslanayotgan miqdor tanlangan asosdan kattaligini bildiradi. Lekin bitta belgilangan masalalar to‘plamidagi bajarilgan ish ulushi odatda 100% dan oshmaydi.

Qaysi sonni 100% deb olish tushunarsiz bo‘lsa-chi?

Savolni yana o‘qib, butun yoki boshlang‘ich qiymatni toping. «Necha foizga oshdi?» degan savolda asos odatda oldingi qiymat bo‘ladi. «B soni A ning necha foizi?» degan savolda esa A soni 100% deb olinadi.

Hisoblashdan oldin boshlang‘ich son yoniga «100%» deb yozish va yechimdan keyin natijaning kattaligini tekshirish foydali odatdir.

Muntazam mashq uchun ExamHub dasturlari

Kvadrat tenglamalarni yechish usulini takrorlash