Pifagor teoremasi: formula va yechimli masalalar

Pifagor teoremasi to‘g‘ri burchakli uchburchak tomonlari uzunliklarini bog‘laydi. U noma’lum tomonni, to‘g‘ri to‘rtburchak diagonalini va nuqtalar orasidagi masofani topishga yordam beradi. Asosiy shart — to‘g‘ri burchak mavjudligi. Formulani istalgan uchburchakka qo‘llab bo‘lmaydi.

Katetlar va gipotenuza

$90^\circ$ burchakni hosil qiladigan tomonlar katetlar deyiladi. To‘g‘ri burchak qarshisidagi tomon gipotenuza bo‘lib, u eng uzun tomondir. Katetlarni $a$ va $b$, gipotenuzani $c$ bilan belgilasak:

$$a^2+b^2=c^2$$

Uzunliklarning o‘zi emas, ularning kvadratlari qo‘shiladi. Hisoblashdan oldin barcha o‘lchovlarni bir xil birlikka keltiring: santimetr kvadrati bilan metr kvadratini bevosita qo‘shib bo‘lmaydi.

Gipotenuzani qanday topamiz?

Katetlar ma’lum bo‘lsa, ularning kvadratlarini qo‘shib, yig‘indidan musbat kvadrat ildiz chiqaramiz. Katetlar 5 sm va 12 sm bo‘lsin:

$$c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{ sm}$$

Tekshirish: 13 soni 5 dan ham, 12 dan ham katta — gipotenuza shunday bo‘lishi kerak. Manfiy qiymat mos kelmaydi, chunki tomon uzunligi musbat. 169 sonida to‘xtamang: bu uzunlikning kvadrati, uzunlikning o‘zi emas.

Noma’lum katetni topish

Gipotenuza va bitta katet ma’lum bo‘lsa, kvadratlarni ayirish kerak. Masalan, gipotenuza 10 sm, katetlardan biri 6 sm bo‘lsin:

$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\text{ sm}$$

Ildiz ostida manfiy son chiqsa, qaysi tomonni gipotenuza deb olganingizni tekshiring. Gipotenuza har bir katetdan uzun bo‘lishi kerak. Shart noto‘g‘ri ko‘chirilgan yoki uchburchak to‘g‘ri burchakli bo‘lmasligi mumkin.

To‘g‘ri to‘rtburchak diagonali

Diagonal to‘g‘ri to‘rtburchakni ikkita to‘g‘ri burchakli uchburchakka ajratadi. Uning qo‘shni tomonlari katetlar, diagonali esa gipotenuza bo‘ladi. Tomonlari 6 m va 8 m bo‘lsa:

$$d=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\text{ m}$$

Kvadrat uchun ham shu usul ishlaydi: ikkala katet teng bo‘ladi. Kvadrat tomoni s bo‘lsa:

$$d=\sqrt{s^2+s^2}=s\sqrt2$$

$s=7$ bo‘lganda aniq javob $7\sqrt2$. Zarurat bo‘lmasa, ildizni taqribiy qiymat bilan almashtirmang. Masalada o‘nli javob so‘ralsa, hisoblash oxirida yaxlitlang.

Uchburchak to‘g‘ri burchakli ekanini tekshirish

Teskari tasdiq ham o‘rinli: tomonlar uchun $a^2+b^2=c^2$ tenglik bajarilsa va $c$ eng uzun tomon bo‘lsa, uchburchak to‘g‘ri burchaklidir. Avval berilgan uzunliklardan uchburchak yasash mumkinligini tekshiring.

Masalan, 7, 24 va 25 tomonlar mos keladi: $7+24>25$ va $7^2+24^2=49+576=625=25^2$. Tomonlar 4, 5 va 6 bo‘lsa, tenglik bajarilmaydi: $16+25=41$, lekin $6^2=36$. Bunday uchburchak to‘g‘ri burchakli emas.

Ko‘p uchraydigan xatolar

Gipotenuzani chizmada qanday joylashganiga qarab tanlamang: u albatta qiya turishi shart emas. To‘g‘ri burchakka qarang. Katetni izlayotganda kvadratlarni qo‘shmang va oxirida ildiz chiqarishni unutmang. Chizma tushunishga yordam beradi, lekin masshtab berilmagan bo‘lsa, hisoblash o‘rniga uni chizg‘ich bilan o‘lchamang.

O‘zingizni sinab ko‘ring

1) Katetlar 8 sm va 15 sm. Gipotenuzani toping. 2) Gipotenuza 17 sm, bir katet 8 sm. Ikkinchi katetni toping. 3) Tomoni 4 sm bo‘lgan kvadrat diagonalini toping. 4) Tomonlari 6, 8 va 11 bo‘lgan uchburchak to‘g‘ri burchaklimi?

Mashqlarning javoblari

1) $\sqrt{64+225}=17$ sm. 2) $\sqrt{289-64}=15$ sm. 3) $4\sqrt2$ sm. 4) Yo‘q: $6^2+8^2=100$, lekin $11^2=121$.

Nega c = a + b deb yozib bo‘lmaydi?

Teorema tomonlarning kvadratlarini bog‘laydi. Masalan, katetlar 3 va 4 bo‘lsa, gipotenuza $\sqrt{9+16}=5$, 7 emas. $c=a+b$ bo‘lsa, uchta nuqta bir to‘g‘ri chiziqda yotadi va odatdagi uchburchak hosil bo‘lmaydi.

Ishonchli yechish uchun har safar to‘g‘ri burchakni belgilang, gipotenuzani yozing va shundan keyingina kvadratlarni qo‘shish yoki ayirishni tanlang.

Kvadrat tenglamalar misolida kvadrat ildizni takrorlash