Теорема Пифагора: формула и задачи с решениями

Теорема Пифагора связывает длины сторон прямоугольного треугольника. Она помогает найти неизвестную сторону, диагональ прямоугольника и расстояние между точками. Главное условие — наличие прямого угла. Для произвольного треугольника формулу применять нельзя.

Катеты и гипотенуза

Стороны, образующие угол $90^\circ$, называют катетами. Сторона напротив прямого угла — гипотенуза; она самая длинная. Обозначим катеты $a$ и $b$, гипотенузу — $c$. Тогда:

$$a^2+b^2=c^2$$

Складываются квадраты длин, а не сами длины. Перед вычислениями приведите все измерения к одной единице: нельзя напрямую складывать квадрат сантиметров и квадрат метров.

Как найти гипотенузу

Если известны катеты, сложите их квадраты и извлеките положительный квадратный корень. Для катетов 5 см и 12 см:

$$c=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13\text{ см}$$

Проверка: 13 больше и 5, и 12, как и должно быть у гипотенузы. Отрицательное значение не подходит, потому что длина стороны положительна. Не останавливайтесь на числе 169: это квадрат длины, а не длина.

Как найти неизвестный катет

Когда известны гипотенуза и другой катет, нужно вычитать квадраты. Например, при гипотенузе 10 см и катете 6 см:

$$b=\sqrt{c^2-a^2}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{64}=8\text{ см}$$

Если под корнем получилось отрицательное число, проверьте, какую сторону вы приняли за гипотенузу. Гипотенуза должна быть больше каждого катета. Возможно, условие записано неверно или треугольник не прямоугольный.

Диагональ прямоугольника

Диагональ делит прямоугольник на два прямоугольных треугольника. Его соседние стороны становятся катетами, диагональ — гипотенузой. У прямоугольника со сторонами 6 м и 8 м:

$$d=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\text{ м}$$

Это же рассуждение применимо к квадрату: его два катета равны. Если сторона квадрата равна s, получаем:

$$d=\sqrt{s^2+s^2}=s\sqrt2$$

При $s=7$ точный ответ — $7\sqrt2$. Не заменяйте корень приближением без необходимости. Если задача требует десятичный ответ, округляйте в конце.

Как проверить, прямоугольный ли треугольник

Работает и обратное утверждение: если для длин сторон выполняется $a^2+b^2=c^2$, где $c$ — самая длинная сторона, треугольник прямоугольный. Сначала убедитесь, что данные длины вообще образуют треугольник.

Например, стороны 7, 24 и 25 подходят: $7+24>25$ и $7^2+24^2=49+576=625=25^2$. Для сторон 4, 5 и 6 равенство не выполняется: $16+25=41$, а $6^2=36$. Такой треугольник не прямоугольный.

Частые ошибки

Не выбирайте гипотенузу по положению рисунка: она не обязана быть наклонной. Ориентируйтесь на прямой угол. Не прибавляйте квадраты, если ищете катет, и не забывайте извлечь корень. Чертёж помогает разобраться, но измерять его линейкой вместо вычислений нельзя, если масштаб не задан.

Проверьте себя

1) Катеты равны 8 см и 15 см. Найдите гипотенузу. 2) Гипотенуза равна 17 см, катет — 8 см. Найдите другой катет. 3) Найдите диагональ квадрата со стороной 4 см. 4) Является ли треугольник со сторонами 6, 8 и 11 прямоугольным?

Ответы к заданиям

1) $\sqrt{64+225}=17$ см. 2) $\sqrt{289-64}=15$ см. 3) $4\sqrt2$ см. 4) Нет: $6^2+8^2=100$, а $11^2=121$.

Почему нельзя написать c = a + b?

Теорема связывает квадраты сторон. Например, при катетах 3 и 4 гипотенуза равна $\sqrt{9+16}=5$, а не 7. Равенство $c=a+b$ означало бы вырожденный треугольник.

Чтобы решать увереннее, каждый раз отмечайте прямой угол, подписывайте гипотенузу и только затем выбирайте сложение или вычитание квадратов.

Повторить квадратный корень на примерах квадратных уравнений