Квадратные уравнения: дискриминант, примеры и проверка корней

Квадратное уравнение удобно решать по одному и тому же плану: привести запись к стандартному виду, определить коэффициенты, вычислить дискриминант и проверить корни. Разберём этот алгоритм на примерах, включая отрицательные коэффициенты и неполные уравнения.

Как узнать квадратное уравнение

Стандартный вид — $ax^2+bx+c=0$, где $a\neq0$. Числа $a$, $b$ и $c$ называют коэффициентами. Если коэффициент при квадрате равен нулю, уравнение уже не квадратное.

Например, в $2x^2-5x-3=0$ коэффициенты равны $a=2$, $b=-5$, $c=-3$. Знак входит в коэффициент. В уравнении $x^2-7x+12=0$ коэффициент $a$ равен 1, хотя единица не записана.

Сначала перенесите всё в одну сторону

Формулу корней применяют после того, как правая часть стала нулём. Если дано $2x^2=5x+3$, вычтите $5x+3$ из обеих частей. Получится $2x^2-5x-3=0$. Только теперь выписывайте коэффициенты: так проще избежать ошибок со знаками.

Что показывает дискриминант

$$D=b^2-4ac$$

В действительных числах возможны три случая. При $D>0$ есть два разных корня. При $D=0$ есть один корень, который также называют двукратным. При $D<0$ действительных корней нет. Последняя формулировка важна: в комплексных числах решение рассматривают иначе.

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$

Знак $\pm$ означает два вычисления: одно с плюсом перед корнем, другое с минусом. Делить нужно весь числитель на $2a$, а не только $\sqrt{D}$.

Пример: два разных корня

Решим $2x^2-5x-3=0$. Подставляем коэффициенты со знаками:

$$D=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3)=25+24=49$$

$$x_1=\frac{5+7}{4}=3,\qquad x_2=\frac{5-7}{4}=-\frac12$$

Проверяем оба значения в исходном уравнении. Для $x=3$: $18-15-3=0$. Для $x=-\frac12$: $\frac12+\frac52-3=0$. Оба корня подходят. Если проверка не даёт ноль, вернитесь к коэффициентам и действиям со знаками.

Когда корень один, а когда действительных корней нет

Для $x^2-6x+9=0$ получаем $D=36-36=0$, поэтому $x=3$. Это согласуется с записью $(x-3)^2=0$. Для $x^2+4x+5=0$ дискриминант равен $16-20=-4$: действительных корней нет.

Геометрически корни уравнения — точки пересечения графика $y=ax^2+bx+c$ с осью $x$. Парабола может пересечь ось дважды, коснуться её один раз или не пересечь вовсе.

Неполное уравнение: иногда можно обойтись без дискриминанта

Если $c=0$, удобно вынести $x$ за скобки. Например, $3x^2-12x=0$ превращается в $3x(x-4)=0$, откуда $x=0$ или $x=4$. Нельзя просто разделить исходное уравнение на $x$: так потеряется нулевой корень.

Если $b=0$, изолируйте квадрат. Из $x^2-25=0$ следует $x^2=25$, поэтому $x=5$ или $x=-5$. У положительного числа два противоположных действительных квадратных корня.

Три частые ошибки

Первая — записать $b=5$ вместо $b=-5$. Вторая — забыть скобки при возведении отрицательного числа в квадрат: $(-5)^2=25$. Третья — потерять второй корень или разделить только часть числителя. Выписывайте промежуточные действия и проверяйте каждый ответ подстановкой.

Попробуйте самостоятельно

Решите три уравнения: 1) $x^2-7x+12=0$; 2) $4x^2+4x+1=0$; 3) $x^2+2x+5=0$. Сначала найдите дискриминант и предскажите количество действительных корней, затем считайте.

Какие ответы у заданий?

1) $x=3$ и $x=4$, поскольку $D=1$. 2) $x=-\frac12$, поскольку $D=0$. 3) Действительных корней нет, поскольку $D=-16$.

Можно ли всегда использовать дискриминант?

Да, для любого квадратного уравнения в стандартном виде с ненулевым коэффициентом при квадрате. Разложение на множители иногда быстрее, но формула дискриминанта остаётся универсальным способом.

Для следующей тренировки выберите несколько уравнений с разными знаками коэффициентов. Если нужна системная работа с преподавателем, посмотрите программы ExamHub.