Как решать задачи на проценты: три формулы и примеры

Процент — это сотая часть целого: $1\%=\frac{1}{100}=0{,}01$. Большинство школьных задач на проценты сводится к трём вопросам: найти часть числа, восстановить целое по известной части или сравнить две величины. Главное — каждый раз определить, какое число принимается за 100%.

Как найти процент от числа

Чтобы найти $p\%$ от числа $A$, умножьте число на $p$ и разделите на 100:

$$B=A\cdot\frac{p}{100}$$

Например, $15\%$ от 240 — это $240\cdot0{,}15=36$. Можно проверить устно: 10% от 240 равно 24, а 5% — половина от 24, то есть 12. Вместе получаем 36.

Если решено 18 задач из набора в 60 задач, долю выполненной работы удобно сначала записать дробью $\frac{18}{60}$. Как перевести её в проценты, разберём ниже.

Как найти целое по известному проценту

Теперь известно, что часть $B$ составляет $p\%$ целого. Нужно выполнить обратное действие — разделить часть на долю. Для ненулевого $p$:

$$A=\frac{B}{p/100}=\frac{100B}{p}$$

Пусть 36 страниц составляют 15% книги. Тогда всего в книге $36:0{,}15=240$ страниц. Проверка: 15% от 240 действительно равны 36. Делить 36 на 15 недостаточно: 15 процентов — это 0,15, а не 15.

Как узнать, сколько процентов составляет одно число от другого

Разделите часть на целое и умножьте на 100. Целое не должно быть нулём:

$$p=\frac{B}{A}\cdot100\%$$

Для 18 решённых задач из 60 получаем $\frac{18}{60}\cdot100\%=30\%$. Обратите внимание на порядок: часть стоит в числителе, целое — в знаменателе. Если перепутать их, получится ответ на другой вопрос.

Увеличение и уменьшение на несколько процентов

Если величина увеличивается на $p\%$, к ней добавляется $p\%$ от исходного значения. Это можно записать одним умножением:

$$A_{\text{новое}}=A\left(1+\frac{p}{100}\right)$$

Для уменьшения знак меняется на минус. Например, после уменьшения 800 на 15% остаётся $800\cdot0{,}85=680$. Сначала найти 120, а затем вычесть их из 800 — тоже правильный способ.

Почему плюс 20% и минус 20% не возвращают исходное число

Представим величину 100. После увеличения на 20% получаем 120. Затем уменьшаем уже 120 на 20%: $120\cdot0{,}8=96$. Итог на 4% меньше исходного значения. Проценты считались от разных оснований: сначала от 100, затем от 120.

$$100\cdot1{,}2\cdot0{,}8=96$$

Поэтому последовательные изменения удобно считать коэффициентами. Не складывайте проценты автоматически: сначала выясните, к какому значению относится каждое изменение.

Проценты и процентные пункты

Если доля правильных ответов выросла с 40% до 50%, разница составляет 10 процентных пунктов. Относительный рост при этом равен $\frac{50-40}{40}\cdot100\%=25\%$. Это два разных способа сравнения. Формулировка задачи определяет, какой из них нужен.

Проверьте себя

1) Найдите 12% от 350. 2) 54 составляет 30% некоторого числа. Найдите это число. 3) Сколько процентов составляют 45 из 180? 4) Величину 200 увеличили на 10%, затем уменьшили на 10%. Какой получился результат?

Какие ответы у задач?

1) $350\cdot0{,}12=42$. 2) $54:0{,}3=180$. 3) $45:180\cdot100\%=25\%$. 4) $200\cdot1{,}1\cdot0{,}9=198$. В последней задаче результат на 1% меньше исходного.

Может ли ответ быть больше 100%?

Да. Например, 150 составляет 150% от 100. Это означает, что сравниваемая величина больше выбранного основания. Но доля выполненных задач внутри одного фиксированного набора обычно не превышает 100%.

Что делать, если неясно, какое число считать за 100%?

Перечитайте вопрос и найдите целое или исходное значение. В выражении «на сколько процентов выросло» основанием обычно служит прежнее значение. В вопросе «сколько процентов составляет B от A» за 100% берут A.

Полезная привычка — перед вычислениями писать рядом с исходным числом «100%», а после решения проверять порядок величины. Для системной практики посмотрите программы ExamHub и повторите алгоритм решения квадратных уравнений.