Линейные уравнения: как решать и проверять ответ

Решить уравнение — значит найти все значения неизвестного, при которых равенство верно. В линейных уравнениях неизвестное входит в первой степени. Их удобно решать по одному плану: раскрыть скобки, собрать слагаемые с неизвестным, выделить его и проверить результат.

Что называют линейным уравнением

Простейшая запись — $ax+b=0$, где $a$ и $b$ — числа, а $x$ — неизвестное. При $a\ne0$ такое уравнение имеет единственный корень:

$$x=-\frac{b}{a}$$

Например, в уравнении $5x-20=0$ получаем $x=4$. Но заучивать одну формулу недостаточно: исходная запись может содержать скобки или дроби. Сначала её нужно привести к удобному виду.

Главное правило: одинаковые действия с обеими частями

К обеим частям равенства можно прибавить одно и то же число или вычесть его. Обе части также можно умножить или разделить на одно и то же ненулевое число. Эти действия сохраняют решения. Делить на ноль нельзя.

Фраза «перенести через знак равенства с другим знаком» — сокращённая запись такого действия. Чтобы убрать $+6$ слева, мы вычитаем 6 из обеих частей:

$$2x+6=18\quad\Rightarrow\quad2x=12\quad\Rightarrow\quad x=6$$

Проверяем подстановкой в исходное уравнение: $2\cdot6+6=18$. Совпадение подтверждает ответ. Проверка в промежуточной строке менее надёжна: ошибка могла появиться раньше.

Пример со скобками и неизвестным с двух сторон

Решим $3(x-2)=2x+5$. Умножаем 3 на каждое слагаемое в скобках, затем вычитаем $2x$ из обеих частей и прибавляем 6:

$$3x-6=2x+5\quad\Rightarrow\quad x-6=5\quad\Rightarrow\quad x=11$$

Слева получаем $3(11-2)=27$, справа — $2\cdot11+5=27$. Особенно внимательно раскрывайте скобки после минуса: $-(x-4)=-x+4$, а не $-x-4$.

Как убрать числовые знаменатели

В уравнении $\frac{x-1}{3}+\frac{x}{2}=4$ общим знаменателем служит 6. Умножаем на 6 каждое слагаемое в обеих частях, включая правую часть:

$$2(x-1)+3x=24\quad\Rightarrow\quad5x-2=24\quad\Rightarrow\quad x=\frac{26}{5}$$

Проверка: $\frac{26/5-1}{3}=\frac75$, а $\frac{26/5}{2}=\frac{13}{5}$. Сумма равна $\frac{20}{5}=4$. Если неизвестное находится в знаменателе, сначала нужно учесть запрещённые значения; это уже не стандартный случай линейного уравнения с числовыми знаменателями.

Когда решений нет или их бесконечно много

После упрощения неизвестное иногда исчезает. Из $2(x+1)=2x+5$ получается $2=5$, поэтому решений нет. Из $2(x+1)=2x+2$ получается $2=2$, и подходит любое действительное $x$. Нельзя делить на коэффициент при $x$, если он равен нулю.

Проверьте себя

Решите: 1) $4x-7=9$; 2) $5-2(x+1)=9$; 3) $\frac{x}{4}+\frac12=3$; 4) $3x+1=3x-2$. Сначала запишите свои решения, затем откройте ответы.

Ответы и короткая проверка

1) $x=4$: $16-7=9$. 2) $x=-3$: $5-2(-2)=9$. 3) $x=10$: $10/4+1/2=3$. 4) Решений нет: после вычитания $3x$ остаётся неверное равенство $1=-2$.

Может ли корень быть дробным?

Да. Например, у $2x=3$ корень $x=\frac32$. Дробный или отрицательный ответ сам по себе не означает ошибку. Главное — выполнить проверку в исходном уравнении.

Полезная привычка — записывать по одному преобразованию в строке и не пропускать знаки. Когда этот алгоритм станет понятным, можно перейти к уравнениям второй степени.

Далее: квадратные уравнения и дискриминант