Kvadrat tenglamalar: diskriminant, misollar va ildizlarni tekshirish

Kvadrat tenglamani bir xil tartibda yechish mumkin: yozuvni standart ko‘rinishga keltiring, koeffitsiyentlarni aniqlang, diskriminantni hisoblang va ildizlarni tekshiring. Quyida manfiy koeffitsiyentli hamda to‘liq bo‘lmagan tenglamalarni misollar bilan ko‘rib chiqamiz.

Kvadrat tenglama qanday ko‘rinishda bo‘ladi?

Standart ko‘rinish — $ax^2+bx+c=0$, bunda $a\neq0$. Bu yerda $a$, $b$ va $c$ koeffitsiyentlardir. Agar kvadrat oldidagi koeffitsiyent nol bo‘lsa, tenglama kvadrat tenglama hisoblanmaydi.

Masalan, $2x^2-5x-3=0$ tenglamada $a=2$, $b=-5$, $c=-3$. Koeffitsiyentni ishorasi bilan yozish kerak. $x^2-7x+12=0$ tenglamada esa $a=1$, garchi bir soni yozilmagan bo‘lsa ham.

Avval barcha hadlarni bir tomonga o‘tkazing

Ildizlar formulasidan foydalanishdan oldin o‘ng tomonda nol bo‘lishi kerak. Masalan, $2x^2=5x+3$ tenglamaning ikkala tomonidan $5x+3$ ni ayiring. Natija: $2x^2-5x-3=0$. Koeffitsiyentlarni shundan keyin yozsangiz, ishoralarda adashish ehtimoli kamayadi.

Diskriminant nimani ko‘rsatadi?

$$D=b^2-4ac$$

Haqiqiy sonlarda uchta holat bor. $D>0$ bo‘lsa, ikkita turli ildiz mavjud. $D=0$ bo‘lsa, bitta ildiz mavjud; u ikki karrali ildiz deb ham ataladi. $D<0$ bo‘lsa, haqiqiy ildiz yo‘q. Bu oxirgi jumlada «haqiqiy» so‘zi muhim: kompleks sonlarda masala boshqacha ko‘riladi.

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}$$

$\pm$ belgisi ikkita hisoblashni bildiradi: birida kvadrat ildiz oldida qo‘shish, ikkinchisida ayirish belgisi turadi. Faqat $\sqrt{D}$ ni emas, suratdagi butun ifodani $2a$ ga bo‘lish kerak.

Misol: ikkita turli ildiz

$2x^2-5x-3=0$ tenglamani yechamiz. Koeffitsiyentlarni ishoralari bilan formulaga qo‘yamiz:

$$D=(-5)^2-4\cdot2\cdot(-3)=25+24=49$$

$$x_1=\frac{5+7}{4}=3,\qquad x_2=\frac{5-7}{4}=-\frac12$$

Ikkala qiymatni dastlabki tenglamaga qo‘yib tekshiramiz. $x=3$ uchun $18-15-3=0$. $x=-\frac12$ uchun $\frac12+\frac52-3=0$. Demak, ikkala ildiz ham to‘g‘ri. Tekshirishda nol chiqmasa, koeffitsiyentlar va ishoralar bilan bajarilgan amallarni qayta ko‘ring.

Bitta ildiz va haqiqiy ildizi yo‘q tenglamalar

$x^2-6x+9=0$ uchun $D=36-36=0$, demak, $x=3$. Tenglamani $(x-3)^2=0$ shaklida yozish ham mumkin. $x^2+4x+5=0$ uchun esa $D=16-20=-4$, shuning uchun haqiqiy ildiz yo‘q.

Geometrik ma’noda ildizlar — $y=ax^2+bx+c$ grafigining $x$ o‘qi bilan kesishish nuqtalarining abssissalaridir. Parabola o‘qni ikki nuqtada kesishi, unga bir nuqtada urinishi yoki uni umuman kesmasligi mumkin.

To‘liq bo‘lmagan tenglama: ba’zan diskriminant kerak emas

Agar $c=0$ bo‘lsa, $x$ ni qavsdan tashqariga chiqarish qulay. Masalan, $3x^2-12x=0$ dan $3x(x-4)=0$ kelib chiqadi. Demak, $x=0$ yoki $x=4$. Dastlabki tenglamani shunchaki $x$ ga bo‘lib yubormang: nolga teng ildizni yo‘qotasiz.

Agar $b=0$ bo‘lsa, kvadratni alohida qoldiring. $x^2-25=0$ dan $x^2=25$ kelib chiqadi. Shuning uchun $x=5$ yoki $x=-5$. Har qanday musbat son uchun kvadrati shu songa teng bo‘lgan ikkita qarama-qarshi haqiqiy son mavjud.

Ko‘p uchraydigan uchta xato

Birinchisi — $b=-5$ o‘rniga $b=5$ deb yozish. Ikkinchisi — manfiy sonni kvadratga oshirishda qavslarni unutish: $(-5)^2=25$. Uchinchisi — ikkinchi ildizni yo‘qotish yoki suratning faqat bir qismini bo‘lish. Oraliq hisoblarni yozing va har bir javobni o‘rniga qo‘yib tekshiring.

Mustaqil yechib ko‘ring

Uchta tenglamani yeching: 1) $x^2-7x+12=0$; 2) $4x^2+4x+1=0$; 3) $x^2+2x+5=0$. Avval diskriminant orqali haqiqiy ildizlar sonini aniqlang, keyin hisoblang.

Mashqlarning javoblari qanday?

1) $x=3$ va $x=4$, chunki $D=1$. 2) $x=-\frac12$, chunki $D=0$. 3) Haqiqiy ildiz yo‘q, chunki $D=-16$.

Har doim diskriminantdan foydalanish mumkinmi?

Ha, kvadrat oldidagi koeffitsiyenti nolga teng bo‘lmagan, standart ko‘rinishdagi har qanday kvadrat tenglama uchun foydalanish mumkin. Ba’zan ko‘paytuvchilarga ajratish tezroq, lekin diskriminant formulasi umumiy usul bo‘lib qoladi.

Keyingi mashq uchun koeffitsiyentlari turli ishorali tenglamalarni tanlang. O‘qituvchi bilan tizimli shug‘ullanish uchun ExamHub dasturlari bilan tanishing.