Модуль числа

Расстояние не бывает отрицательным. Противоположные числа имеют одинаковые модули. Модуль помогает сравнивать расстояния, но порядок самих целых чисел на прямой определяется с учётом знака.

Модуль удобно читать как расстояние: $|x-a|$ — расстояние от x до a на числовой прямой. Поэтому равенство |x − a| = r при r > 0 обычно даёт две точки, расположенные по разные стороны от a.

Примеры с решением

Пример 1. |−8| = 8 и |8| = 8. Расстояние между −3 и 5 равно |5 − (−3)| = |8| = 8.

Пример 2. Решим |x − 2| = 3. Расстояние до точки 2 равно 3, поэтому x = 2 + 3 = 5 или x = 2 − 3 = −1. Проверка: |5 − 2| = 3 и |−1 − 2| = 3.

Пример 3. Расстояние меньше заданного. Неравенство $|x-2|<3$ означает, что x расположен ближе трёх единиц к точке 2. Получаем $-3<x-2<3$, затем $-1<x<5$. Границы не включены: в точках −1 и 5 расстояние равно ровно 3.

Пример 4. Нулевое и отрицательное расстояние. Из $|2x-6|=0$ следует 2x − 6 = 0, то есть x = 3: только ноль имеет нулевой модуль. А $|2x-6|=-1$ не имеет решений. Правило двух вариантов применяют при положительной правой части, а не механически в любой задаче.

Частые ошибки

Нельзя всегда убирать знак модуля без условия. При a < 0 верно |a| = −a; например, для a = −6 получаем −a = 6.

Модуль не бывает отрицательным: у |x| = −4 нет решений. Но |x| = 0 имеет одно решение x = 0; две ветви не всегда дают два разных ответа.

Дополнительный материал: OpenStax.