Квадратный корень

Знак √ обозначает арифметический, то есть неотрицательный, корень. Поэтому √(a²) равен модулю a. В действительных числах подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Для a ≥ 0 и b ≥ 0 верно $\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b$. Это позволяет выносить из-под корня полный квадрат.

Примеры с решением

Пример 1. √49 = 7, поскольку 7² = 49. Но уравнение x² = 49 имеет два решения: x = 7 и x = −7. Также √((−7)²) = 7.

Пример 2. Упростим $\sqrt{72}=\sqrt{36\cdot2}=6\sqrt2$. Проверка возведением в квадрат: $(6\sqrt2)^2=36\cdot2=72$, а найденное число неотрицательно.

Пример 3. Корень из дроби. Вычислим $\sqrt{\frac{81}{16}}=\frac{\sqrt{81}}{\sqrt{16}}=\frac94$. Правило $\sqrt{a/b}=\sqrt a/\sqrt b$ применимо при a ≥ 0 и b > 0. Проверка: (9/4)² = 81/16 и 9/4 ≥ 0.

Пример 4. Уравнение с корнем. В $\sqrt{x+1}=4$ сначала учитываем x ≥ −1. Возводим обе части в квадрат: x + 1 = 16, откуда x = 15. Проверяем именно исходное равенство: √16 = 4. Для $\sqrt{x+1}=-4$ действительных решений нет, поскольку арифметический корень неотрицателен.

Частые ошибки

Не приписывайте знак ± значению √49. Он нужен при записи двух решений уравнения, а не значения арифметического корня.

Корень из суммы нельзя разбивать на сумму корней. Например, √(9 + 16) = √25 = 5, тогда как √9 + √16 = 3 + 4 = 7.

Дополнительный материал: OpenStax.