Теорема Пифагора

Формулу применяют только к прямоугольному треугольнику. Чтобы найти катет, из квадрата гипотенузы вычитают квадрат известного катета и извлекают неотрицательный квадратный корень.

Обратная теорема помогает проверить прямой угол: если квадрат самой длинной стороны равен сумме квадратов двух остальных, треугольник прямоугольный. Сначала убедитесь, что три длины вообще образуют треугольник.

Примеры с решением

Пример 1. Гипотенуза равна 13 см, один катет — 5 см. Второй катет: √(13² − 5²) = √(169 − 25) = √144 = 12 см.

Пример 2. Для сторон 8, 15 и 17 см проверяем: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17². Значит, угол напротив стороны 17 см прямой. Для 8, 15 и 16 см равенство не выполнено.

Пример 3. Диагональ прямоугольника. Стороны равны 9 и 12 см. Диагональ делит прямоугольник на прямоугольные треугольники, поэтому $d=\sqrt{9^2+12^2}=\sqrt{225}=15$ см. Проверка: 15² = 81 + 144. Сумма 9 + 12 = 21 не является длиной диагонали.

Пример 4. Расстояние между точками. Для A(−1; 2) и B(3; 5) горизонтальная разность равна 4, вертикальная — 3. Они образуют катеты, поэтому $AB=\sqrt{(3-(-1))^2+(5-2)^2}=\sqrt{16+9}=5$. Это расстояние в единицах координатной системы, а не сумма перемещений 4 + 3.

Частые ошибки

Для катета нужно вычитание, а не сложение. И нельзя применять теорему к произвольному треугольнику без прямого угла.

Не извлекайте корень из каждого слагаемого отдельно: √(a² + b²) не равно a + b. Для катетов 3 и 4 гипотенуза равна 5, а не 7.

Дополнительный материал: OpenStax.