Треугольник

В евклидовой геометрии сумма внутренних углов треугольника равна 180°. Сумма длин любых двух сторон больше третьей. Если один угол прямой, это прямоугольный треугольник.

Треугольник можно классифицировать по сторонам и по углам независимо. Равнобедренный треугольник имеет две равные стороны и равные углы напротив них. По углам треугольники бывают остроугольными, прямоугольными и тупоугольными.

Примеры с решением

Пример 1. Два угла треугольника равны 48° и 67°. Третий угол равен 180° − 48° − 67° = 65°.

Пример 2. В равнобедренном треугольнике угол между равными сторонами равен 40°. Два других угла равны, а их сумма 180° − 40° = 140°. Каждый равен 140°/2 = 70°.

Пример 3. Можно ли построить треугольник? Для сторон 3, 4 и 8 см получаем 3 + 4 = 7 < 8: треугольник невозможен. Для сторон 3, 4 и 6 см $3+4>6$; остальные две суммы тоже больше третьей стороны. Эти длины образуют треугольник. Равенство суммы двух сторон третьей дало бы вырожденную фигуру.

Пример 4. Внешний угол. Внутренний угол при одной вершине равен 65°, а удалённый от него внутренний угол — 45°. Внешний угол при первой вершине равен $180^\circ-65^\circ=115^\circ$. Он равен сумме двух удалённых внутренних углов, поэтому оставшийся внутренний угол равен 115° − 45° = 70°. Проверка: 65° + 45° + 70° = 180°.

Частые ошибки

Не любые три длины образуют треугольник. Отрезки 2, 3 и 5 см не подходят: 2 + 3 = 5, а требуется строгое неравенство.

Не определяйте равные стороны только по внешнему виду рисунка. Нужны длины, отметки равенства или доказательство; схема может быть выполнена не в масштабе.

Дополнительный материал: OpenStax.