Прямоугольный треугольник

Стороны при прямом угле называются катетами, противоположная сторона — гипотенузой. Гипотенуза длиннее каждого катета. Для длин сторон выполняется теорема Пифагора.

Два катета образуют прямой угол и одновременно могут служить основанием и высотой. Поэтому площадь равна $S=\frac{ab}{2}$, где a и b — катеты. Два остальных угла в сумме дают 90°.

Примеры с решением

Пример 1. Один острый угол равен 32°. Второй равен 90° − 32° = 58°. Если катеты равны 6 и 8 см, гипотенуза равна √(36 + 64) = 10 см.

Пример 2. Катеты равны 5 и 12 см. Гипотенуза равна √(25 + 144) = 13 см. Площадь: 5 · 12 / 2 = 30 см²; периметр: 5 + 12 + 13 = 30 см. Числа совпали, но единицы и смысл различаются.

Пример 3. Равные катеты. Если оба катета равны 4 см, то $c=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt2$ см. Острые углы равны, а их сумма 90°, поэтому каждый равен 45°. Площадь $S=4\cdot4/2=8$ см². Гипотенуза больше катета: 4√2 > 4.

Пример 4. Катет по площади. Площадь равна 24 см², один катет — 6 см. Из $24=6b/2$ получаем b = 8 см. Затем $c=\sqrt{6^2+8^2}=10$ см. Проверяем площадь: 6 · 8 / 2 = 24. Основание и высота здесь именно катеты, а не произвольно выбранные стороны.

Частые ошибки

Гипотенузу выбирают по положению напротив прямого угла, а не по тому, как повёрнут рисунок.

Гипотенуза всегда длиннее каждого катета. Если вычисленная гипотенуза меньше известного катета, проверьте выбор стороны и знак действия.

Дополнительный материал: OpenStax.