Рациональное число

Любое целое число рационально: его можно записать со знаменателем 1. Конечные и бесконечные периодические десятичные записи тоже задают рациональные числа.

У периодической дроби повторяется один и тот же блок цифр. Конечное округление иррационального числа не равно его точному значению.

Примеры с решением

Пример 1. −5 = −5/1, 0,75 = 3/4, а 0,333… = 1/3. Все три числа рациональные, хотя записаны по-разному.

Пример 2. Пусть x = 0,777… Тогда 10x = 7,777… Вычитаем: 10x − x = 7, значит 9x = 7 и x = 7/9. Запись 0,777… означает бесконечное повторение семёрки.

Пример 3. Действия с отрицательными дробями. $-\frac56+\frac14=-\frac{10}{12}+\frac3{12}=-\frac7{12}$. Результат снова рационален: числитель и знаменатель целые, знаменатель ненулевой. Проверка оценкой: к отрицательному −5/6 прибавили меньшую положительную величину, поэтому знак остался отрицательным.

Пример 4. Период из двух цифр. Пусть $x=0{,}272727\ldots$. Тогда $100x=27{,}272727\ldots$. Вычитая первое равенство из второго, получаем 99x = 27, поэтому $x=27/99=3/11$. Умножили на 100, потому что период содержит две цифры.

Частые ошибки

Наличие знака корня ещё не делает число иррациональным: √9 = 3 — рациональное число. А √2 нельзя точно представить отношением целых чисел.

Приближение √2 ≈ 1,414 рационально, но само √2 иррационально. Не заменяйте знак приближённого равенства точным равенством.

Дополнительный материал: OpenStax.