Система уравнений

Решение системы из двух уравнений с x и y записывают как пару значений. Для систем линейных уравнений часто используют подстановку или сложение. Система может иметь одно, бесконечно много решений или не иметь их.

При подстановке выразите одну переменную из удобного уравнения и замените её в другом. При сложении подберите множители так, чтобы коэффициенты одной переменной стали противоположными. Ответом остаётся пара значений.

Примеры с решением

Пример 1. Сложим x + y = 11 и x − y = 3: получаем 2x = 14, значит x = 7. Подставляем в первое уравнение: y = 4. Оба равенства выполняются для пары (7; 4).

Пример 2. Пусть y = 2x + 1 и x + y = 10. Подставляем: x + 2x + 1 = 10, откуда 3x = 9 и x = 3. Затем y = 7. Проверяем: 7 = 2 · 3 + 1 и 3 + 7 = 10.

Пример 3. Сложение после умножения. Даны 2x + 3y = 12 и 3x − 2y = 5. Умножим первое уравнение на 2, второе на 3: 4x + 6y = 24 и 9x − 6y = 15. Складываем: $13x=39$, x = 3. Затем $6+3y=12$, y = 2. Проверка пары (3; 2): 12 = 12 и 5 = 5.

Пример 4. Число решений. Уравнения x + y = 2 и 2x + 2y = 4 задают одно условие, поэтому решений бесконечно много: $(x;y)=(t;2-t)$ для любого действительного t. Если второе заменить на 2x + 2y = 5, получится противоречие 4 = 5: решений нет.

Частые ошибки

Недостаточно проверить только одно уравнение. Пара должна удовлетворять каждому уравнению системы.

Не переставляйте координаты ответа: пара (3; 7) означает x = 3, y = 7. Пара (7; 3) для этой системы не подходит. Если при исключении получается 0 = 5, система несовместна.

Дополнительный материал: OpenStax.