Линейное уравнение

Одинаковое допустимое действие выполняют с обеими частями равенства. Сначала раскрывают скобки и приводят подобные слагаемые, затем выделяют переменную. Найденный корень проверяют подстановкой.

Решение сохраняется, если прибавить к обеим частям одно число или умножить обе части на одно ненулевое число. «Перенос через знак равенства» — короткая запись такого одинакового действия с обеими частями.

Примеры с решением

Пример 1. Решим 3x − 7 = 11. Прибавляем 7 к обеим частям: 3x = 18. Делим на 3: x = 6. Проверка: 3 · 6 − 7 = 11.

Пример 2. Решим 2(x + 3) = x + 9. Раскрываем скобки: 2x + 6 = x + 9. Вычитаем x и 6 из обеих частей: x = 3. Проверка: 2 · (3 + 3) = 12 и 3 + 9 = 12.

Пример 3. Уравнение с дробями. Решим $\frac{x-1}{3}+\frac x2=4$. Умножаем обе части на 6: 2(x − 1) + 3x = 24. Тогда 5x = 26, $x=\frac{26}{5}$. Проверка: $\frac{7}{5}+\frac{13}{5}=4$. Умножение на общий знаменатель применяется к каждому слагаемому.

Пример 4. Когда переменная исчезает. Из $2(x+1)=2x+2$ получается 0 = 0: подходят все действительные x. Из $2(x+1)=2x+3$ получается 2 = 3: решений нет. После преобразований важно проверить коэффициент при x, прежде чем делить на него.

Частые ошибки

Нельзя делить на ноль. Если после упрощения коэффициент при x стал нулём, отдельно проверьте, получилось верное равенство или противоречие.

После сокращения переменной возможны два разных случая: 0x = 0 верно для любого x, а 0x = 5 не имеет решений. Нельзя в обоих случаях записывать x = 0.

Дополнительный материал: OpenStax.