Неравенство

Решение неравенства с переменной — все значения, при которых сравнение верно. Как и при решении линейного уравнения, к обеим частям можно прибавить одно число. При умножении или делении на отрицательное число знак сравнения меняется.

Деление на выражение с переменной требует знания его знака. Например, из $x^2>x$ нельзя просто сократить x: при x = 0 деление запрещено, а при x < 0 знак должен измениться. Для линейных неравенств безопасно сначала собрать члены с переменной в одной части.

Примеры с решением

Пример 1. Решим −2x < 6. Делим обе части на −2 и меняем знак: x > −3. Число 0 подходит, поскольку 0 < 6; число −4 не подходит, поскольку 8 < 6 неверно.

Пример 2. Решим 3x + 2 ≤ 11: вычитаем 2, получаем 3x ≤ 9; делим на 3, получаем x ≤ 3. Число 3 включено, потому что 3 · 3 + 2 = 11. Подходят также все меньшие числа.

Пример 3. Двойное неравенство. Решим $1<2x+3\le9$. Вычитаем 3 из всех трёх частей: $-2<2x\le6$. Делим на положительное 2: $-1<x\le3$, то есть $x\in(-1;3]$. Слева граница исключена, справа включена.

Пример 4. Отрицательный множитель и граница. $-3(x-2)\ge12$. Делим на −3 и меняем знак: x − 2 ≤ −4, значит x ≤ −2. Проверка границы: $-3(-2-2)=12$. Число −3 тоже подходит, а −1 даёт 9 и не подходит.

Частые ошибки

Не включайте границу в ответ для строгого знака. В неравенстве x > −3 число −3 не является решением.

Нельзя делить на выражение с переменной, не выяснив его знак и ненулевое значение. Например, знак x заранее неизвестен, поэтому деление обеих частей на x требует разбора случаев.

Дополнительный материал: OpenStax.