Tengsizlik

O‘zgaruvchili tengsizlikning yechimi — taqqoslash to‘g‘ri bo‘ladigan barcha qiymatlar. Chiziqli tenglamadagi kabi ikkala tomonga bir xil son qo‘shish mumkin. Manfiy songa ko‘paytirish yoki bo‘lishda tengsizlik belgisi almashadi.

O‘zgaruvchili ifodaga bo‘lish uchun uning ishorasini bilish kerak. Masalan, $x^2>x$ da x ni shunchaki qisqartirib bo‘lmaydi: x = 0 da bo‘lish mumkin emas, x < 0 da esa belgi o‘zgaradi. Chiziqli tengsizliklarda avval o‘zgaruvchili hadlarni bir tomonga yig‘ish qulay.

Yechimli misollar

1-misol. −2x < 6 ni yechamiz. Ikkala tomonni −2 ga bo‘lib, belgini almashtiramiz: x > −3. 0 mos keladi, chunki 0 < 6; −4 mos kelmaydi, chunki 8 < 6 noto‘g‘ri.

2-misol. 3x + 2 ≤ 11 ni yechamiz: 2 ni ayirsak, 3x ≤ 9; 3 ga bo‘lsak, x ≤ 3. 3 soni kiritiladi, chunki 3 · 3 + 2 = 11. Barcha kichik sonlar ham mos keladi.

3-misol. Qo‘sh tengsizlik. $1<2x+3\le9$ ni yechamiz. Uchala qismdan 3 ni ayiramiz: $-2<2x\le6$. Musbat 2 ga bo‘lamiz: $-1<x\le3$, ya’ni $x\in(-1;3]$. Chap chegara kirmaydi, o‘ng chegara kiradi.

4-misol. Manfiy ko‘paytuvchi va chegara. $-3(x-2)\ge12$. −3 ga bo‘lib, belgini almashtiramiz: x − 2 ≤ −4, demak x ≤ −2. Chegarani tekshirish: $-3(-2-2)=12$. −3 ham mos keladi, −1 esa 9 beradi va mos kelmaydi.

Ko‘p uchraydigan xatolar

Qat’iy tengsizlikda chegara qiymatini javobga kiritmang. x > −3 tengsizlik uchun −3 yechim emas.

O‘zgaruvchili ifodaning ishorasi va nolga teng emasligi aniqlanmasdan unga bo‘lmang. Masalan, x ning ishorasi noma’lum bo‘lsa, unga bo‘lish alohida holatlarni ko‘rib chiqishni talab qiladi.

Qo‘shimcha material: OpenStax.