Многочлен

Слагаемые многочлена могут иметь разные степени. После приведения подобных слагаемых степень ненулевого многочлена определяется наибольшей степенью оставшихся одночленов.

Старшие слагаемые могут сократиться, поэтому степень результата иногда меньше степеней исходных выражений.

Примеры с решением

Пример 1. Сложим (2x² + 3x − 4) и (x² − 5x + 6). Получаем 3x² − 2x + 2. Степень результата равна 2.

Пример 2. Раскроем скобки: $(x+2)(x-3)=x^2-3x+2x-6=x^2-x-6$. Каждый член первой скобки умножается на каждый член второй. При x = 4 обе записи дают 6.

Пример 3. Вычитание многочленов. $(3x^2-x+2)-(3x^2+4x-5)=3x^2-x+2-3x^2-4x+5=-5x+7$. Минус перед второй скобкой меняет знаки всех её членов. Члены второй степени сократились, поэтому степень результата равна 1.

Пример 4. Разложение на множители. В $6x^3-9x^2$ общий множитель равен 3x²: $6x^3-9x^2=3x^2(2x-3)$. Проверяем раскрытием скобок. Если требуется решить 6x³ − 9x² = 0, то 3x² = 0 или 2x − 3 = 0, то есть x = 0 или x = 3/2.

Частые ошибки

При вычитании многочлена меняйте знак каждого его слагаемого: (x + 2) − (x − 3) = x + 2 − x + 3 = 5.

Квадрат суммы содержит среднее слагаемое: (x + 2)² = x² + 4x + 4, а не x² + 4. Его даёт сумма двух произведений x · 2.

Дополнительный материал: OpenStax.