Квадратное уравнение

Корни можно искать разложением на множители, выделением квадрата или по формуле через дискриминант. Количество действительных корней зависит от коэффициентов, а не только от наличия x².

Перед вычислением перенесите все слагаемые в одну часть и приведите подобные: справа должен остаться ноль. Если разложение на множители неочевидно, вычислите D = b² − 4ac. При D ≥ 0 корни равны $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}$.

Примеры с решением

Пример 1. Для x² − 7x + 12 = 0 получаем (x − 3)(x − 4) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: x = 3 или x = 4.

Пример 2. Решим x² = 5x. Переносим: x² − 5x = 0, затем x(x − 5) = 0. Получаем x = 0 или x = 5. Оба значения проверяются в исходном равенстве.

Пример 3. Неприведённое уравнение. Для $2x^2+x-3=0$ имеем a = 2, b = 1, c = −3. $D=1-4\cdot2\cdot(-3)=25$, поэтому $x_{1,2}=\frac{-1\pm5}{4}$: x₁ = 1, x₂ = −3/2. Подстановка даёт ноль в обоих случаях.

Пример 4. Выделение полного квадрата. $x^2+4x-1=0$ перепишем как $(x+2)^2=5$, добавив 4 к обеим частям равенства x² + 4x = 1. Тогда $x=-2\pm\sqrt5$. Оба корня действительные; округлять √5 до завершения решения не требуется.

Частые ошибки

Не теряйте второй корень и не делите обе части на выражение с x без проверки, не равно ли оно нулю.

Отсутствующий член означает нулевой коэффициент: в 3x² − 12 = 0 имеем b = 0 и c = −12. Решения x = 2 и x = −2; нельзя считать c равным 12 без знака.

Дополнительный материал: OpenStax.