Квадратичная функция

При a > 0 ветви направлены вверх, при a < 0 — вниз. Абсцисса вершины равна −b/(2a); её ординату находят подстановкой. Пересечения с осью x определяют решением квадратного уравнения.

Выделение полного квадрата даёт вид $y=a(x-h)^2+k$. Вершина — (h; k), ось симметрии — x = h. При a > 0 вершина даёт минимум, при a < 0 — максимум функции на всей числовой прямой.

Примеры с решением

Пример 1. Для y = x² − 4x + 3 вершина имеет x₀ = 2 и y₀ = 4 − 8 + 3 = −1. Нули функции: 1 и 3, поскольку x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3).

Пример 2. Для y = −2(x − 1)² + 8 вершина (1; 8), ветви направлены вниз, наибольшее значение равно 8. При y = 0 получаем (x − 1)² = 4, поэтому нули функции — −1 и 3. Они симметричны относительно x = 1.

Пример 3. Вершина и значения. $y=x^2+6x+11=(x+3)^2+2$. Квадрат неотрицателен, значит наименьшее значение равно 2 при x = −3. Вершина (−3; 2), ось симметрии x = −3, множество значений $[2;+\infty)$. Нулей нет: график целиком выше оси x.

Пример 4. Восстановление формулы. Вершина параболы (2; −3), а точка (0; 5) лежит на графике. Записываем $y=a(x-2)^2-3$. Подстановка точки даёт 5 = 4a − 3, то есть a = 2. Получаем $y=2(x-2)^2-3$. Проверка вершины: при x = 2 значение y равно −3.

Частые ошибки

Не путайте вершину с нулём функции. У этой параболы вершина (2; −1), и она не лежит на оси x.

В записи (x − h)² координата вершины равна h: у y = (x + 3)² вершина (−3; 0), а не (3; 0). Перепишите x + 3 как x − (−3).

Дополнительный материал: OpenStax.