Kvadratik funksiya

a > 0 bo‘lsa, parabola shoxlari yuqoriga, a < 0 bo‘lsa, pastga yo‘naladi. Uchining abssissasi −b/(2a); ordinatasi o‘rniga qo‘yib topiladi. x o‘qi bilan kesishishlar kvadrat tenglamani yechish orqali aniqlanadi.

To‘liq kvadrat ajratish $y=a(x-h)^2+k$ ko‘rinishini beradi. Uch — (h; k), simmetriya o‘qi — x = h. a > 0 da uch minimumni, a < 0 da haqiqiy sonlar o‘qida maksimumni beradi.

Yechimli misollar

1-misol. y = x² − 4x + 3 uchun x₀ = 2 va y₀ = 4 − 8 + 3 = −1. Funksiya nollari 1 va 3, chunki x² − 4x + 3 = (x − 1)(x − 3).

2-misol. y = −2(x − 1)² + 8 da uch (1; 8), tarmoqlar pastga yo‘nalgan, eng katta qiymat 8. y = 0 da (x − 1)² = 4, shuning uchun funksiya nollari −1 va 3. Ular x = 1 ga nisbatan simmetrik.

3-misol. Uch va qiymatlar. $y=x^2+6x+11=(x+3)^2+2$. Kvadrat manfiy emas, demak eng kichik qiymat x = −3 da 2 ga teng. Uchi (−3; 2), simmetriya o‘qi x = −3, qiymatlar sohasi $[2;+\infty)$. Nollari yo‘q: grafik x o‘qidan to‘liq yuqorida.

4-misol. Formulani tiklash. Parabolaning uchi (2; −3), (0; 5) nuqta grafikda yotadi. $y=a(x-2)^2-3$ deb yozamiz. Nuqtani qo‘ysak, 5 = 4a − 3, ya’ni a = 2. Demak, $y=2(x-2)^2-3$. Uchni tekshirish: x = 2 da y = −3.

Ko‘p uchraydigan xatolar

Parabola uchini funksiya noli bilan adashtirmang. Bu parabolaning uchi (2; −1) bo‘lib, x o‘qida yotmaydi.

(x − h)² yozuvida uchning koordinatasi h ga teng: y = (x + 3)² ning uchi (−3; 0), (3; 0) emas. x + 3 ni x − (−3) deb yozing.

Qo‘shimcha material: OpenStax.