Kvadrat tenglama

Ildizlar ko‘paytuvchilarga ajratish, to‘liq kvadrat ajratish yoki diskriminant orqali topiladi. Haqiqiy ildizlar soni faqat x² borligiga emas, koeffitsiyentlarga bog‘liq.

Hisoblashdan oldin barcha hadlarni bir tomonga o‘tkazib, o‘xshashlarini ixchamlang: o‘ng tomonda nol qolsin. Ko‘paytuvchilarga ajratish oson bo‘lmasa, D = b² − 4ac ni hisoblang. D ≥ 0 da ildizlar $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}$ ga teng.

Yechimli misollar

1-misol. x² − 7x + 12 = 0 uchun (x − 3)(x − 4) = 0 bo‘ladi. Kamida bitta ko‘paytuvchi nol bo‘lsa, ko‘paytma nolga teng: x = 3 yoki x = 4.

2-misol. x² = 5x ni yechamiz. Bir tomonga o‘tkazamiz: x² − 5x = 0, so‘ng x(x − 5) = 0. x = 0 yoki x = 5 bo‘ladi. Ikkalasi ham boshlang‘ich tenglikni qanoatlantiradi.

3-misol. Keltirilmagan tenglama. $2x^2+x-3=0$ da a = 2, b = 1, c = −3. $D=1-4\cdot2\cdot(-3)=25$. Demak, $x_{1,2}=\frac{-1\pm5}{4}$: x₁ = 1, x₂ = −3/2. Har ikkala ildizni qo‘ysak, chap tomon nol bo‘ladi.

4-misol. To‘la kvadrat ajratish. $x^2+4x-1=0$ ni $(x+2)^2=5$ ko‘rinishida yozamiz: x² + 4x = 1 tengligining ikkala tomoniga 4 qo‘shdik. Shunda $x=-2\pm\sqrt5$. Ikkala ildiz ham haqiqiy; yechim tugamaguncha √5 ni yaxlitlash shart emas.

Ko‘p uchraydigan xatolar

Ikkinchi ildizni yo‘qotmang. Ikkala tomonni x qatnashgan ifodaga bo‘lishdan oldin u nolga teng bo‘lishi mumkinligini tekshiring.

Qatnashmagan hadning koeffitsiyenti nol: 3x² − 12 = 0 da b = 0 va c = −12. Yechimlar x = 2 va x = −2; c ni ishorasiz 12 deb olish mumkin emas.

Qo‘shimcha material: OpenStax.