Diskriminant

Diskriminant kvadrat tenglama nechta haqiqiy ildizga ega ekanini oldindan aniqlashga yordam beradi. Avval tenglamani $ax^2+bx+c=0$, a ≠ 0 ko‘rinishiga keltiring. Koeffitsiyentlarni ishoralari bilan yozing; x qatnashgan had bo‘lmasa, b = 0.

D > 0 da ikkita turli haqiqiy ildiz mavjud. D = 0 da ikki karrali deb ataladigan bitta ildiz hosil bo‘ladi. D < 0 da haqiqiy ildiz yo‘q. Buni kvadratik funksiya grafigida ham ko‘rish mumkin: parabola x o‘qini ikki nuqtada kesadi, unga urinadi yoki u bilan umumiy nuqtaga ega bo‘lmaydi.

D ≥ 0 bo‘lsa, uni ildizlar formulasiga qo‘ying:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}$$

± belgisi ikkita hisoblashni bildiradi: avval plyus, keyin minus bilan. Suratning hammasi 2a ga bo‘linadi. D = 0 da ikkala hisoblash bir xil sonni beradi. Topilgan ildizlarni boshlang‘ich tenglamaga qo‘yib yoki Viyet teoremasi orqali tekshirish mumkin.

Yechimli misollar

1-misol. Ikkita ildiz: 2x² − 5x + 2 = 0. Bu yerda a = 2, b = −5, c = 2. Avval $D=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9$. Keyin √D = 3, shuning uchun x₁ = (5 + 3)/4 = 2 va x₂ = (5 − 3)/4 = 1/2. Ikkinchi ildizni tekshiramiz: 2 · (1/2)² − 5 · (1/2) + 2 = 0.

2-misol. Bitta ikki karrali ildiz: x² − 6x + 9 = 0. D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 0. Demak, x = 6/2 = 3. Bu (x − 3)² = 0 ko‘rinishiga mos keladi.

3-misol. Haqiqiy ildiz yo‘q: x² + 2x + 5 = 0. Bu yerda D = 2² − 4 · 1 · 5 = −16. Haqiqiy kvadrat ildizni hisoblashni davom ettirish shart emas. Boshqa tekshiruv: x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4; bu yig‘indi har qanday haqiqiy x da musbat.

4-misol. Parametr va ildizlar soni. Qaysi k da $x^2-4x+k=0$ bitta haqiqiy ildizga ega? $D=16-4k$, shuning uchun D = 0 talab qilamiz: 16 − 4k = 0, k = 4. Natijada (x − 2)² = 0 va x = 2. k < 4 da ikkita turli ildiz, k > 4 da esa haqiqiy ildiz bo‘lmaydi.

Ko‘p uchraydigan xatolar

Koeffitsiyent ishorasini yo‘qotish. b = −5 bo‘lsa, (−5)² = 25 hisoblanadi, −5² = −25 emas. Avval a, b va c ni alohida yozing, keyin manfiy sonlarni qavs bilan qo‘ying.

Suratning faqat bir qismini bo‘lish. To‘g‘ri formula — $\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}$. Qavssiz −b ± √D/(2a) yozuvi boshqa amalni bildiradi: −b kasrdan tashqarida qoladi.

D < 0 da haddan tashqari umumiy xulosa chiqarish. Haqiqiy sonlar ko‘rilayotgan bo‘lsa, «haqiqiy ildiz yo‘q» deng. Haqiqiy koeffitsiyentli kvadrat tenglama D < 0 da kompleks sonlarda ikkita ildizga ega; bu alohida mavzu.

Qo‘shimcha material: OpenStax.