Дискриминант

Дискриминант помогает заранее узнать, сколько действительных корней имеет квадратное уравнение. Сначала приведите его к виду $ax^2+bx+c=0$, где a ≠ 0. Выпишите коэффициенты вместе со знаками; если слагаемого с x нет, то b = 0.

При D > 0 существуют два различных действительных корня. При D = 0 получается один корень, который называют двукратным. При D < 0 действительных корней нет. Это видно и на графике квадратичной функции: парабола пересекает ось x в двух точках, касается её или не имеет с ней общих точек.

Если D ≥ 0, подставьте его в формулу корней:

$$x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}$$

Знак ± задаёт два вычисления: сначала с плюсом, затем с минусом. Весь числитель делится на 2a. При D = 0 оба вычисления дают одно и то же число. Найденные корни полезно подставить в исходное уравнение или проверить по теореме Виета.

Примеры с решением

Пример 1. Два корня: 2x² − 5x + 2 = 0. Здесь a = 2, b = −5, c = 2. Сначала $D=(-5)^2-4\cdot2\cdot2=25-16=9$. Затем √D = 3, поэтому x₁ = (5 + 3)/4 = 2 и x₂ = (5 − 3)/4 = 1/2. Проверка второго корня: 2 · (1/2)² − 5 · (1/2) + 2 = 0.

Пример 2. Один двукратный корень: x² − 6x + 9 = 0. Получаем D = (−6)² − 4 · 1 · 9 = 0. Тогда x = 6/2 = 3. Это согласуется с разложением (x − 3)² = 0.

Пример 3. Нет действительных корней: x² + 2x + 5 = 0. Здесь D = 2² − 4 · 1 · 5 = −16. Дальше извлекать действительный квадратный корень не нужно. Проверка другим способом: x² + 2x + 5 = (x + 1)² + 4, а эта сумма положительна при любом действительном x.

Пример 4. Параметр и число корней. При каких k уравнение $x^2-4x+k=0$ имеет один действительный корень? $D=16-4k$, поэтому требуем D = 0: 16 − 4k = 0, k = 4. Получаем (x − 2)² = 0 и x = 2. При k < 4 будут два различных корня, при k > 4 действительных корней не будет.

Частые ошибки

Потеря знака коэффициента. При b = −5 нужно вычислять (−5)² = 25, а не −5² = −25. Сначала запишите a, b и c отдельно, затем подставляйте отрицательные числа в скобках.

Деление только части числителя. Правильная формула — $\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}$. Запись −b ± √D/(2a) без скобок означает другое действие: −b остаётся вне дроби.

Слишком общий вывод при D < 0. Говорите «нет действительных корней», если рассматриваете действительные числа. В комплексных числах у квадратного уравнения с действительными коэффициентами при D < 0 есть два корня; это отдельная тема.

Дополнительный материал: OpenStax.