Теорема Виета

Для ax² + bx + c = 0 сумма двух корней с учётом кратности равна −b/a, произведение — c/a. Формулы следуют из раскрытия a(x − x₁)(x − x₂). Для поиска действительных корней сначала учитывайте дискриминант.

Для уравнения ax² + bx + c = 0 с корнями x₁ и x₂ выполняются $x_1+x_2=-\frac ba$ и $x_1x_2=\frac ca$. Для приведённого уравнения a = 1, поэтому удобно искать два числа с заданными суммой и произведением.

Примеры с решением

Пример 1. Уравнение x² − 9x + 20 = 0 имеет корни 4 и 5: их сумма равна 9, а произведение — 20. Проверка раскрытием: (x − 4)(x − 5) = x² − 9x + 20.

Пример 2. Для x² + x − 12 = 0 сумма корней равна −1, произведение −12. Подходят 3 и −4: 3 + (−4) = −1, 3 · (−4) = −12. Значит, (x − 3)(x + 4) = 0.

Пример 3. Старший коэффициент не равен единице. Для $2x^2-7x+3=0$ сумма корней $x_1+x_2=7/2$, произведение $x_1x_2=3/2$. Подходят 3 и 1/2. Проверка: $2(x-3)(x-\tfrac12)=2x^2-7x+3$. Нельзя использовать сумму 7 и произведение 3 без деления на a.

Пример 4. Составление уравнения по корням. Для корней −2 и 5 сумма равна 3, произведение −10. Приведённое уравнение имеет вид $x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$, значит $x^2-3x-10=0$. Проверка: (x + 2)(x − 5) = x² − 3x − 10.

Частые ошибки

Если a ≠ 1, не забывайте делить коэффициенты на a. Для 2x² − 6x + 4 = 0 сумма корней равна 3, а не 6.

Положительное произведение ещё не означает, что оба корня положительные: они могут быть оба отрицательными. Их знак уточняется по сумме, если действительные корни существуют.

Дополнительный материал: OpenStax.