Viyet teoremasi

ax² + bx + c = 0 uchun karralik hisobga olingan ikkita ildiz yig‘indisi −b/a, ko‘paytmasi c/a ga teng. Formulalar a(x − x₁)(x − x₂) ni ochishdan kelib chiqadi. Haqiqiy ildizlarni izlashda diskriminantni hisobga oling.

ax² + bx + c = 0 tenglamaning x₁ va x₂ ildizlari uchun $x_1+x_2=-\frac ba$ hamda $x_1x_2=\frac ca$ bajariladi. Keltirilgan tenglamada a = 1; berilgan yig‘indi va ko‘paytmaga ega ikki sonni izlash qulay.

Yechimli misollar

1-misol. x² − 9x + 20 = 0 ildizlari 4 va 5: yig‘indisi 9, ko‘paytmasi 20. Qavslarni ochib tekshiramiz: (x − 4)(x − 5) = x² − 9x + 20.

2-misol. x² + x − 12 = 0 uchun ildizlar yig‘indisi −1, ko‘paytmasi −12. 3 va −4 mos keladi: 3 + (−4) = −1, 3 · (−4) = −12. Demak, (x − 3)(x + 4) = 0.

3-misol. Bosh koeffitsiyent birga teng emas. $2x^2-7x+3=0$ da ildizlar yig‘indisi $x_1+x_2=7/2$, ko‘paytmasi $x_1x_2=3/2$. 3 va 1/2 mos keladi. Tekshirish: $2(x-3)(x-\tfrac12)=2x^2-7x+3$. a ga bo‘lmasdan yig‘indini 7, ko‘paytmani 3 deb olish mumkin emas.

4-misol. Ildizlar bo‘yicha tenglama tuzish. −2 va 5 ildizlarining yig‘indisi 3, ko‘paytmasi −10. Keltirilgan tenglama $x^2-(x_1+x_2)x+x_1x_2=0$ ko‘rinishida, demak $x^2-3x-10=0$. Tekshirish: (x + 2)(x − 5) = x² − 3x − 10.

Ko‘p uchraydigan xatolar

a ≠ 1 bo‘lsa, koeffitsiyentlarni a ga bo‘lishni unutmang. 2x² − 6x + 4 = 0 uchun ildizlar yig‘indisi 6 emas, 3 ga teng.

Ko‘paytmaning musbatligi ikkala ildiz ham musbatligini bildirmaydi: ikkalasi manfiy bo‘lishi mumkin. Haqiqiy ildizlar mavjud bo‘lsa, ularning ishorasi yig‘indi yordamida aniqlashtiriladi.

Qo‘shimcha material: OpenStax.