Линейная функция

Коэффициент k показывает изменение y при увеличении x на 1, а b — значение при x = 0. Здесь допускается k = 0: получается постоянная функция. При k > 0 функция возрастает, при k < 0 убывает.

Две точки с разными абсциссами определяют прямую этого вида. Коэффициент вычисляется как $k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$, затем $b=y_1-kx_1$. Условие x₁ ≠ x₂ обязательно: вертикальная прямая не является графиком функции y от x.

Примеры с решением

Пример 1. Для y = 2x − 3 получаем точки (0; −3) и (2; 1). При увеличении x от 0 до 2 значение y увеличилось на 4: на 2 за каждую единицу x.

Пример 2. Для y = −3x + 6 точки пересечения с осями — (0; 6) и (2; 0). При x = 1 получаем y = 3. С каждым шагом x на единицу вправо y уменьшается на 3.

Пример 3. Формула по двум точкам. Прямая проходит через (1; 3) и (3; 7). $k=\frac{7-3}{3-1}=2$. Подставляем первую точку в y = 2x + b: 3 = 2 + b, значит b = 1. Ответ: y = 2x + 1. Проверка второй точки: 2 · 3 + 1 = 7.

Пример 4. Постоянная функция. Для $y=0\cdot x+4=4$ график горизонтален. Точки (−2; 4), (0; 4), (5; 4) лежат на нём. С осью y он пересекается в (0; 4), с осью x не пересекается: уравнение 4 = 0 невозможно. Формулу x = −b/k здесь применять нельзя, поскольку k = 0.

Частые ошибки

Не путайте b с абсциссой пересечения оси x. Для y = 2x − 3 нуль функции равен 1,5, а b = −3.

Одна точка не определяет прямую однозначно. Для построения найдите две разные точки, а третью используйте для проверки вычислений.

Дополнительный материал: OpenStax.