Степень

В записи aⁿ число a называется основанием, а n показывает число множителей. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складывают. Обратная к возведению в квадрат операция связана с квадратным корнем.

Скобки показывают, к чему относится показатель. Для ненулевого a верно $a^0=1$, а отрицательный целый показатель означает обратное число: $a^{-n}=\frac1{a^n}$ при натуральном n. Ноль в знаменателе недопустим.

Примеры с решением

Пример 1. 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. При умножении 3² · 3³ получаем 3⁵ = 243: всего пять множителей, равных 3.

Пример 2. Вычислим $2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18$. Для степени степени $(2^3)^2=2^{3\cdot2}=64$. Показатели здесь умножаются, потому что произведение из трёх двоек повторяется дважды.

Пример 3. Знак и скобки. Сравним $(-3)^4=81$ и $-3^4=-81$. В первом выражении в четвёртую степень возводится всё отрицательное число. Во втором степень относится только к 3, после чего ставится минус. При нечётном показателе $(-3)^3=-27$.

Пример 4. Деление степеней. Упростим $\frac{5^7}{5^4}=5^{7-4}=5^3=125$: четыре одинаковых множителя сокращаются. В общем виде $a^m/a^n=a^{m-n}$ требует a ≠ 0. Например, $2^2/2^5=2^{-3}=1/8$; отрицательный показатель не означает отрицательный результат.

Частые ошибки

Не путайте 3⁴ с 3 · 4. Также учитывайте скобки: (−2)² = 4, но −2² = −4.

Правило сложения показателей работает при умножении степеней с одинаковым основанием. Сумма 2³ + 2² = 8 + 4 = 12, а не 2⁵.

Дополнительный материал: OpenStax.