Daraja

aⁿ yozuvida a asos, n esa ko‘paytuvchilar sonini bildiruvchi ko‘rsatkichdir. Asoslari bir xil darajalar ko‘paytirilganda ko‘rsatkichlar qo‘shiladi. Kvadratga oshirishga teskari amal kvadrat ildiz bilan bog‘liq.

Qavs daraja ko‘rsatkichi nimaga tegishli ekanini ko‘rsatadi. a ≠ 0 bo‘lsa, $a^0=1$. Manfiy butun ko‘rsatkich teskari sonni bildiradi: natural n uchun $a^{-n}=\frac1{a^n}$. Maxraj nol bo‘lishi mumkin emas.

Yechimli misollar

1-misol. 3⁴ = 3 · 3 · 3 · 3 = 81. 3² · 3³ ni ko‘paytirsak, 3⁵ = 243 bo‘ladi: jami beshta ko‘paytuvchi 3 ga teng.

2-misol. $2^{-3}=\frac1{2^3}=\frac18$ ni hisoblaymiz. Darajaning darajasi: $(2^3)^2=2^{3\cdot2}=64$. Uchta ikkidan iborat ko‘paytma ikki marta takrorlangani uchun ko‘rsatkichlar ko‘paytiriladi.

3-misol. Ishora va qavslar. $(-3)^4=81$, ammo $-3^4=-81$. Birinchi ifodada butun manfiy son to‘rtinchi darajaga ko‘tariladi. Ikkinchisida daraja faqat 3 ga tegishli, keyin minus qo‘yiladi. Toq ko‘rsatkichda $(-3)^3=-27$.

4-misol. Darajalarni bo‘lish. $\frac{5^7}{5^4}=5^{7-4}=5^3=125$: to‘rtta bir xil ko‘paytuvchi qisqaradi. Umumiy $a^m/a^n=a^{m-n}$ qoidasida a ≠ 0 bo‘lishi kerak. Masalan, $2^2/2^5=2^{-3}=1/8$; manfiy ko‘rsatkich natija manfiy degani emas.

Ko‘p uchraydigan xatolar

3⁴ ni 3 · 4 bilan adashtirmang. Qavslar ham muhim: (−2)² = 4, ammo −2² = −4.

Ko‘rsatkichlarni qo‘shish qoidasi asoslari bir xil darajalarni ko‘paytirishga tegishli. 2³ + 2² = 8 + 4 = 12, bu 2⁵ emas.

Qo‘shimcha material: OpenStax.